在工程力学与振动分析领域，固有频率是一个核心概念，它反映了系统在自由振动状态下的基本特性。理解并准确计算固有频率对于设计稳定结构和优化机械系统至关重要。

什么是固有频率？

固有频率是指当一个物理系统受到初始扰动后，在没有外部持续激励的情况下，系统自身所表现出的自由振动频率。它是系统内部属性的体现，依赖于系统的质量分布、刚度特性以及阻尼因素。

常见的固有频率计算公式

单自由度系统的固有频率

对于一个简单的单自由度弹簧-质量系统，其固有频率 \( f_n \) 可以通过以下公式计算：

\[ f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \]

其中：

- \( k \) 表示系统的弹性系数（即弹簧常数）；

- \( m \) 是系统的总质量。

这个公式的推导基于能量守恒定律，结合了动能和势能之间的转换关系。

多自由度系统的固有频率

当系统包含多个相互作用的自由度时，固有频率的求解需要借助矩阵方法。假设系统的动力学方程可以表示为：

\[ M\ddot{x} + Kx = 0 \]

其中 \( M \) 和 \( K \) 分别是质量矩阵和刚度矩阵。通过特征值问题的求解，可以获得系统的自然频率及其对应的模态向量。

杆件或梁的弯曲振动

对于细长杆件或梁的弯曲振动情况，固有频率还可以根据其长度、截面惯性矩及材料性质来估算。例如，一根两端固定的均匀细长杆的基频 \( f_1 \) 大致满足如下经验公式：

\[ f_1 \approx \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{EI}{\rho A}} \]

这里 \( L \) 是杆件长度；\( E \) 和 \( I \) 分别代表杨氏模量和截面对中性轴的惯性矩；而 \( \rho \) 和 \( A \) 则分别表示材料密度和横截面积。

影响固有频率的因素

1. 质量分布：增加质量会降低系统的固有频率。

2. 刚度特性：提高系统的刚度会使固有频率增大。

3. 边界条件：不同的支撑方式会影响系统的振动模式和频率值。

应用实例

在桥梁设计中，工程师必须确保桥梁的主要结构部件具有适当的固有频率，以避免共振现象的发生。同样，在航空航天领域，卫星天线的设计也需要考虑其固有频率，以防止因发射过程中产生的振动而导致损坏。

总之，掌握固有频率的概念及其计算方法，不仅有助于我们更好地理解和预测各种物理现象，还能指导实际工程中的决策制定和技术改进。