【奇变偶不变 符号看象限什么意思】“奇变偶不变，符号看象限”是三角函数中一个重要的记忆口诀，用于快速判断三角函数在不同象限中的符号以及函数值的变化规律。它常用于求解三角函数的诱导公式，特别是在计算角度为π/2的整数倍时，如sin(π/2 - α)、cos(π + α)等。
一、口诀解析
- 奇变偶不变：
指的是当角度加上或减去π/2的奇数倍时（如π/2、3π/2），三角函数的名称会发生变化（如sin变cos，cos变sin）；而如果加减的是π/2的偶数倍（如π、2π），则函数名保持不变。
- 符号看象限：
表示最终结果的正负号取决于原角所在象限，即根据α所在的象限来判断结果的正负。
二、常见诱导公式总结
| 原式 | 变换后形式 | 是否变名 | 正负号判断依据 |
| sin(π/2 - α) | cosα | 是 | 第一象限（α在第一象限） |
| sin(π/2 + α) | cosα | 是 | 第二象限（α在第一象限） |
| cos(π/2 - α) | sinα | 是 | 第一象限（α在第一象限） |
| cos(π/2 + α) | -sinα | 是 | 第二象限（α在第一象限） |
| sin(π - α) | sinα | 否 | 第一象限（α在第一象限） |
| sin(π + α) | -sinα | 否 | 第三象限（α在第一象限） |
| cos(π - α) | -cosα | 否 | 第二象限（α在第一象限） |
| cos(π + α) | -cosα | 否 | 第三象限（α在第一象限） |
| sin(3π/2 - α) | -cosα | 是 | 第四象限（α在第一象限） |
| sin(3π/2 + α) | -cosα | 是 | 第三象限（α在第一象限） |
| cos(3π/2 - α) | -sinα | 是 | 第四象限（α在第一象限） |
| cos(3π/2 + α) | sinα | 是 | 第三象限（α在第一象限） |
三、使用技巧
1. 确定变换类型：先看是否涉及π/2的奇数倍或偶数倍。
2. 判断是否变名：如果是奇数倍，则函数名要变；偶数倍则不变。
3. 判断符号：根据原角所在象限，判断结果的正负。
四、实际应用举例
例如：求sin(π/2 + 45°)
- π/2是奇数倍，所以sin变cos；
- 45°在第一象限，π/2 + 45° = 135°在第二象限；
- 第二象限sin为正；
- 所以sin(135°) = cos(45°) = √2/2。
五、总结
“奇变偶不变，符号看象限”是学习三角函数诱导公式的重要工具，帮助我们快速判断复杂角度的三角函数值。通过理解其含义和掌握相关公式，可以提高解题效率，避免频繁查阅公式表。
