【arcsin的原函数是什么】在数学中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一个常见的问题。对于反三角函数如 $ \arcsin x $，其原函数可以通过积分方法进行推导。本文将总结 $ \arcsin x $ 的原函数，并以表格形式清晰展示。
一、
$ \arcsin x $ 是正弦函数 $ \sin x $ 在区间 $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ 上的反函数。要找到 $ \arcsin x $ 的原函数，即计算不定积分：
$$
\int \arcsin x \, dx
$$
这个积分可以通过分部积分法来解决。设：
- $ u = \arcsin x $
- $ dv = dx $
则有：
- $ du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $
- $ v = x $
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx
$$
接下来对第二项积分进行计算：
令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ dt = -2x dx $，即 $ x dx = -\frac{1}{2} dt $，代入得：
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C
$$
因此，最终结果为：
$$
\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C
$$
二、表格总结
| 函数 | 原函数 | 积分常数 |
| $ \arcsin x $ | $ x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} $ | $ + C $ |
三、注意事项
- 积分结果中的常数 $ C $ 表示任意常数，用于表示所有可能的原函数。
- 在实际应用中，若给出具体积分区间，可进一步确定常数值。
- 若对 $ \arcsin x $ 进行定积分，则需结合上下限进行计算。
通过以上分析和表格总结，可以清晰地了解 $ \arcsin x $ 的原函数及其推导过程。这一结果在微积分、物理和工程等领域均有广泛应用。
