【不定积分公式】在微积分的学习中，不定积分是一个重要的概念，它与导数互为逆运算。通过不定积分，我们可以求出一个函数的原函数，即已知导数求原函数的过程。为了便于理解和应用，下面将对常见的不定积分公式进行总结，并以表格形式展示。

一、基本不定积分公式

以下是一些常用的不定积分公式，适用于初等函数的积分运算：

二、代数函数的不定积分

对于多项式和有理函数，我们可以通过分项积分法来求解：

- $ \int (x^2 + 3x + 5) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 5x + C $

- $ \int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C $

三、三角函数的不定积分

三角函数的积分需要结合一些特殊技巧或公式，例如：

- $ \int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C $

- $ \int \cos(ax) dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C $

- $ \int \sin^2 x dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C $

- $ \int \cos^2 x dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C $

四、反三角函数的不定积分

一些反三角函数的积分也常被使用：

- $ \int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C $

- $ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin x + C $

- $ \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}} dx = \text{arcsec} x + C $

五、其他常见不定积分

- $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $

- $ \int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln\left\frac{x - a}{x + a}\right + C $

- $ \int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $

六、注意事项

1. 积分常数：所有不定积分结果都必须加上一个常数 $ C $，表示原函数的任意性。

2. 积分方法：实际应用中，可能需要使用换元法、分部积分法、部分分式分解等技巧。

3. 特殊函数：某些函数（如指数函数、三角函数、对数函数）的积分公式较为固定，需熟练掌握。

总结

不定积分是微积分中的核心内容之一，掌握其基本公式和应用方法，有助于解决各种数学问题。通过系统学习和练习，可以提高积分运算的准确性和效率。以上列出的公式涵盖了大部分常见函数的积分形式，是学习和应用过程中的重要参考资料。